题目内容

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，成等差数列．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Tn，且，求证:对任意实数x∈(1，e]

(e是常数，e＝2.71828…)和任意正整数n，总有Tn＜2；

(Ⅲ)正数数列{cn}中，an+1＝(cn)n+1，(n∈N*)．求数列{cn]中的最大项．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：由已知：对于，总有 ①成立

　　∴　 (n ≥ 2)②

　　①－－②得

　　∴

　　∵均为正数，∴(n≥2)

　　∴数列是公差为1的等差数列

　　又n＝1时，，解得＝1

　　∴.()

　　(Ⅱ)证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.

　　∴

　　

　　(Ⅲ)解：由已知　，

　　

　　易得　

　　猜想n≥2时，是递减数列.

　　令

　　∵当

　　∴在内为单调递减函数.

　　由.

　　∴n≥2时，是递减数列.即是递减数列.

　　又，∴数列中的最大项为.


练习册系列答案
相关题目
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=an2+an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设正数数列{cn}满足an+1=（cn）n+1，（n∈N*），求数列{cn}中的最大项；
设数列{an}的各项均为正数，它的前n项和为Sn（n∈N*），已知点（an，4Sn）在函数f （x）=x2+2x+1的图象上．
（1）证明{an}是等差数列，并求an；
（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：
1
Sm
+
1
Sp
≥
2
Sk
；
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an、Sn、（an）2成等差数列．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设bn=an(
1
2
)n，数列{bn}的前n项和是Tn，求证：
1
2
≤Tn＜2．
若数列{an}的前n项和为Sn，则下列命题：
（1）若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}也是递增数列；
（2）数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为正数；
（3）若{an}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2…Sk=0的充要条件是a1•a2…ak=0．
（4）若{an}是等比数列，则S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）的充要条件是an+an+1=0．
其中，正确命题的个数是（　　）
（2012•奉贤区二模）数列{an} 的各项均为正数，a1=p，p＞0，k∈N*，an+an+k=f（p，k）•pn．
（1）当k=1，f（p，k）=p+k，p=5时，求a2，a3；
（2）若数列{an}成等比数列，请写出f（p，k）满足的一个条件，并写出相应的通项公式（不必证明）；
（3）当k=1，f（p，k）=p+k时，设Tn=a1+2a2+3a3+…+2an+an+1，求Tn．

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