题目内容
若数列{an}的前n项和为Sn，则下列命题：
（1）若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}也是递增数列；
（2）数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为正数；
（3）若{an}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2…Sk=0的充要条件是a1•a2…ak=0．
（4）若{an}是等比数列，则S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）的充要条件是an+an+1=0．
其中，正确命题的个数是（ ）
（1）若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}也是递增数列；
（2）数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为正数；
（3）若{an}是等差数列（公差d≠0），则S1•S2…Sk=0的充要条件是a1•a2…ak=0．
（4）若{an}是等比数列，则S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）的充要条件是an+an+1=0．
其中，正确命题的个数是（ ）
分析：利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，通过举反例可得（1）、（2）、（3）不正确．经过检验，只有（4）正确，从而得出结论．
解答：解：数列{an}的前n项和为Sn，故 Sn =a1+a2+a3+…+an，
若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}不一定是递增数列，如当an＜0 时，数列{Sn}是递减数列，故（1）不正确．
由数列{Sn}是递增数列，不能推出数列{an}的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，
满足{Sn}是递增数列，但不满足数列{an}的各项均为正数，故（2）不正确．
若{an}是等差数列（公差d≠0），则由S1•S2…Sk=0不能推出a1•a2…ak=0，例如数列：-3，-1，1，3，
满足S4=0，但 a1•a2•a3•a4≠0，故（3）不正确．
若{an}是等比数列，则由S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）可得数列的{an}公比为-1，故有an+an+1=0．
由an+an+1=0可得数列的{an}公比为-1，可得S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N），故（4）正确．
故选B．
若数列{an}是递增数列，则数列{Sn}不一定是递增数列，如当an＜0 时，数列{Sn}是递减数列，故（1）不正确．
由数列{Sn}是递增数列，不能推出数列{an}的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，
满足{Sn}是递增数列，但不满足数列{an}的各项均为正数，故（2）不正确．
若{an}是等差数列（公差d≠0），则由S1•S2…Sk=0不能推出a1•a2…ak=0，例如数列：-3，-1，1，3，
满足S4=0，但 a1•a2•a3•a4≠0，故（3）不正确．
若{an}是等比数列，则由S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）可得数列的{an}公比为-1，故有an+an+1=0．
由an+an+1=0可得数列的{an}公比为-1，可得S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N），故（4）正确．
故选B．
点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前n项和的意义，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．
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