题目内容
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=an2+an．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设正数数列{cn}满足an+1=（cn）n+1，（n∈N*），求数列{cn}中的最大项；
分析：（1）由已知可得2Sn-1=an-1+an-12（n≥2从而导出an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，所以an-an-1=1（n≥2），由此推出an=n．
（2）由题设条件易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞猜想n≥2时，{cn}是递减数列．令f(x)=
，则f′(x)=
=
，能够推出在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．由an+1=cnn+1知lncn=
．由此能够推出数列{cn}中的最大项为c2=
．
（2）由题设条件易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞猜想n≥2时，{cn}是递减数列．令f(x)=
| lnx |
| x |
| ||
| x2 |
| 1-lnx |
| x2 |
| ln(n+1) |
| n+1 |
| 3 | 3 |
解答：解：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+an-12（n≥2）②
①②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1．
∴an=n．
（2）解：由已知a2=c12=2?c1=
，a3=c23=3?c2=
，a4=c34=4?c3=
=
，
a5=c45=5?c4=
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞猜想n≥2时，{cn}是递减数列．
令f(x)=
，则f′(x)=
=
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由an+1=cnn+1知lncn=
．
∴n≥2时，{lncn}是递减数列．即{cn}是递减数列．
又c1＜c2，∴数列{cn}中的最大项为c2=
．
∴2Sn-1=an-1+an-12（n≥2）②
①②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1．
∴an=n．
（2）解：由已知a2=c12=2?c1=
| 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 2 |
a5=c45=5?c4=
| 5 | 5 |
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞猜想n≥2时，{cn}是递减数列．
令f(x)=
| lnx |
| x |
| ||
| x2 |
| 1-lnx |
| x2 |
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由an+1=cnn+1知lncn=
| ln(n+1) |
| n+1 |
∴n≥2时，{lncn}是递减数列．即{cn}是递减数列．
又c1＜c2，∴数列{cn}中的最大项为c2=
| 3 | 3 |
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．
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