已知等比数列{an}的前n项和为Sn.且S10:S5=1:2.又二次函数y=S15S10x2+134x+5的导函数上有一系列点P1(x1.y1).P2(x2.y2).-.Pn(xn.yn).-.n≥1.n∈N.且点Pn的横坐标构成等差数列{xn}.且x3=-92.x5=-132．(1)求二次函数解析式及点Pn的坐标,(2)设抛物线列C1.C2.C3.-.Cn.-中的每一条的对称� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S₁₀：S₅=1：2，又二次函数y=

S15

S10

x2+

x+5的导函数上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，n≥1，n∈N，且点Pn的横坐标构成等差数列{x_n}，且x₃=-

，x₅=-

．
（1）求二次函数解析式及点Pn的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线Cn的顶点为Pn，且过点Dn（0，n2+1），记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为k_n，求证：

k1k2

k2k3

+…+

kn-1kn

＜

．
（3）设S={x|x=2x_n，n∈N^*}，T={y|y=4y_n，n∈N^*}，等差数列{a_n}的任一项a_n，∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大数，-265＜a₁₀＜-125，求数列{a_n}的通项公式．

考点：数列与解析几何的综合

专题：导数的概念及应用,等差数列与等比数列,集合

分析：（1）运用等比数列的求和公式求得q⁵=-

，再代入二次函数式，化简可得解析式，求出y的导数，运用等差数列的通项，即可得到x_n，进而得到有y_n；
（2）运用待定系数法求得抛物线C_n的解析式，再求导数，得到切线的斜率，再由裂项相消求和，即可得证；
（3）求出集合S，T，求得交集，结合条件，求得数列的首项，再由等差数列的通项公式，即可得到．

解答： （1）解：等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₀：S₅=1：2，
显然公比不为1，则

a1(1-q10)

1-q

：

a1(1-q5)

1-q

=1：2，
化简得1+q⁵=

，即q⁵=-

，则

S15

S10

1-q15

1-q10

，
即有二次函数y=

x²+

x+5，y′=3x+

，
等差数列{x_n}，且x₃=-

，x₅=-

，则公差d=

x5-x3

5-3

=-1，
则x_n=-

-（n-3）=-n-

，
即有y_n=3（-n-

）+

=-3n-

，
则二次函数解析式y=

x²+

x+5，点P_n的坐标为（-n-

，-3n-

）；
（2）证明：设抛物线C_n：y-y_n=a（x-x_n）²，
由（1）可得y+3n+

=a（x+n+

）²，
令x=0，则y=a（n+

）²-3n-

=n²+1，
解得a=1，即有y=（x+n+

）²-（3n+

），
y′=2（x+n+

），即有k_n=2n+3，
由

kn-1kn

(2n+1)(2n+3)

（

2n+1

2n+3

），
则有

k1k2

k2k3

+…+

kn-1kn

×（

+…+

2n+1

2n+3

）
=

×（

2n+3

）＜

；
（3）解：S={x|x=2x_n=-2n-3，n∈N^*}，T={y|y=4y_n=-12n-5，n∈N^*}，
可得S∩T=T，T中最大的为-17，
等差数列{a_n}的任一项a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大数，
则公差d为-12的正整数倍，且a₁=-17，
由-265＜a₁₀＜-125，可得-265＜-17+9d＜-125，
解得-

248

＜d＜-12，可得d=-24，
即有a_n=-17+（n-1）•（-24）=-24n+7．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，考查运算能力，属于中档题和易错题．