题目内容
已知O为坐标原点，A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）
（1）|
+
|=
，且α∈（0，π），求α．
（2）在（1）条件下，求
与
的夹角；
（3）若
•
=-1，求sin2α的值．
（1）|
| OA |
| OC |
| 13 |
（2）在（1）条件下，求
| OB |
| OC |
（3）若
| AC |
| BC |
分析：（1）由已知中，A（3，0），C（cosα，sinα），我们可以求出向量
+
的坐标，进而根据|
+
|=
，我们可以代入向量坐标公式，易构造关于α的三角方程，根据α∈（0，π），解三角方程即可求出α的值；
（2）由已知中B（0，3），结合（1）中的结论，代入向量夹角公式，cos＜
，
＞=
，即可求出
与
的夹角的余弦，进而得到
与
的夹角；
（3）根据A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），由
•
=-1，我们易构造关于α的三角方程，化简后，即可得到sin2α的值．
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
| 13 |
（2）由已知中B（0，3），结合（1）中的结论，代入向量夹角公式，cos＜
| OB |
| OC |
| ||||
|
|
| OB |
| OC |
| OB |
| OC |
（3）根据A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），由
| AC |
| BC |
解答：解：（1））|
+
|=（3+cosα，sinα）
∴|
+
|2=9+6cosα+cos2α+sin2α=10+6cosα=13cosα=
∵α∈（0，π），∴α=
．（3分）
（2）∵cos＜
，
＞=
=
=sinα=
．（6分）
（3）∵
=（cosα-3，sinα），
=（cosα，sinα-3）．（8分）
∴
•
=cos2α-3cosα+sin2α-3sinα=1-3（sinα+cosα）=-1
∴sinα+cosα=
（10分）
∴1+2sinαcosα=
．
∴sin2α=-
…（12分）
| OA |
| OC |
∴|
| OA |
| OC |
| 1 |
| 2 |
∵α∈（0，π），∴α=
| π |
| 3 |
（2）∵cos＜
| OB |
| OC |
| ||||
|
|
| 3sinα |
| 3 |
| ||
| 2 |
（3）∵
| AC |
| BC |
∴
| AC |
| BC |
∴sinα+cosα=
| 2 |
| 3 |
∴1+2sinαcosα=
| 4 |
| 9 |
∴sin2α=-
| 5 |
| 9 |
点评：本题考查的知识点是平面向量的模，平面向量的夹角公式，平面向量的数量积，同角三角函数的基本关系，二倍角公式等，是三角函数与向量的综合应用，其中（1）的关键是确定向量
+
的坐标，（2）的关键是熟练掌握向量夹角公式，cos＜
，
＞=
，（3）的关键是由已知条件构造关于α的三角函数方程．
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
| ||||
|
|
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