题目内容
已知O为坐标原点，A（0，1），B(3，4)，
=t1
+t2
．
（1）求点M在第二象限或第三象限的充要条件；
（2）求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；
（3）若t1=2，求当点M为∠AOB的平分线上点时t2的值．
| OM |
| OA |
| AB |
（1）求点M在第二象限或第三象限的充要条件；
（2）求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；
（3）若t1=2，求当点M为∠AOB的平分线上点时t2的值．
分析：（1）由题设条件，得
=t1(0，1)+t2(3，3)=（3t2，t1+3t2），由此能求出点M在第二象限或第三象限的充要条件．
（2）由
=t1
+t2
，知
=t1
+t2(
-
)=(t1-t2)
+t2
，由此能证明A，B，M三点共线．
（3）由t1=2
=(t1-t2)
+t2
=(2-t2)
+5t2
，能求出当点M为∠AOB的平分线上点时t2的值．
| OM |
（2）由
| OM |
| OA |
| AB |
| OM |
| OA |
| OB |
| OA |
| OA |
| OB |
（3）由t1=2
| OM |
| OA |
| OB |
| OM |
| OA |
| ||
|
|
解答：解：（1）由A（0，1），B(3，4)，
=t1
+t2
，
得
=t1(0，1)+t2(3，3)=（3t2，t1+3t2），
故点M在第二象限或第三象限的充要条件为t2＜0且t1+3t2≠0
（2）∵
=t1
+t2
，
∴
=t1
+t2(
-
)=(t1-t2)
+t2
，
∵t1=1，
∴A，B，M三点共线；．
（3）∵t1=2
=(t1-t2)
+t2
，
∴
=(2-t2)
+5t2
，
∵点M为∠ABC的平分线上的点，
∴2-t2=5t2，
∴t2=
．
| OM |
| OA |
| AB |
得
| OM |
故点M在第二象限或第三象限的充要条件为t2＜0且t1+3t2≠0
（2）∵
| OM |
| OA |
| AB |
∴
| OM |
| OA |
| OB |
| OA |
| OA |
| OB |
∵t1=1，
∴A，B，M三点共线；．
（3）∵t1=2
| OM |
| OA |
| OB |
∴
| OM |
| OA |
| ||
|
|
∵点M为∠ABC的平分线上的点，
∴2-t2=5t2，
∴t2=
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查点M在第二象限或第三象限的充要条件的求法，考查A、B、M三点共线的证明，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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