题目内容
已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），
=t1
+t2
．
（1）求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；
（2）若t1=a2，求当
⊥
且△ABM的面积为12时a的值．
| OM |
| OA |
| AB |
（1）求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；
（2）若t1=a2，求当
| OM |
| AB |
分析：（1）当t1=1时，求得
=
-
=（4，4），
=
-
=t2
，可得不论t2为何实数，A、B、M三点共线．
（2）当t1=a2时，求得
=（4t2，4t2+2a2），
=（4，4），再根据
⊥
求得t2=-
a2，|
|=4
，点M到直线AB：x-y+2=0的距离d=
|a2-1|．
再由S△ABM=12求得a的值．
| AB |
| OB |
| OA |
| AM |
| OM |
| OA |
| AB |
（2）当t1=a2时，求得
| OM |
| AB |
| OM |
| AB |
| 1 |
| 4 |
| AB |
| 2 |
| 2 |
再由S△ABM=12求得a的值．
解答：解：（1）证明：当t1=1时，
=
-
=（4，4），由题意知
=（4t2，4t2+2）．
∵
=
-
=（4t2，4t2）=t2（4，4）=t2
，
∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．
（2）当t1=a2时，
=（4t2，4t2+2a2）．
又∵
=（4，4），
⊥
，∴4t2×4+（4t2+2a2）×4=0，∴t2=-
a2．
∴
=（-a2，a2）．又∵|
|=4
，
点M到直线AB：x-y+2=0的距离d=
=
|a2-1|．
∵S△ABM=12，
∴
|
|•d=
×4
×
|a2-1|=12，解得a=±2，故所求a的值为±2．
| AB |
| OB |
| OA |
| OM |
∵
| AM |
| OM |
| OA |
| AB |
∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．
（2）当t1=a2时，
| OM |
又∵
| AB |
| OM |
| AB |
| 1 |
| 4 |
∴
| OM |
| AB |
| 2 |
点M到直线AB：x-y+2=0的距离d=
| |-a2-a2+2| | ||
|
| 2 |
∵S△ABM=12，
∴
| 1 |
| 2 |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，三点共线的条件，两个向量垂直的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
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