题目内容
已知O为坐标原点，A，B是圆x2+y2=1分别在第一、四象限的两个点，C（5，0）满足：
•
=3、
•
=4，则
+t
+
(t∈R)模的最小值为
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
4
4
．分析：设A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），则
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
=(5，0)，利用
•
=3、
•
=4，A，B是圆x2+y2=1分别在第一、四象限的两个点，可得
=(
，
)，
=(
，-
)，从而可得
+t
+
=(
，
)，由此可求
+t
+
的模长的最小值．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
| OA |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| OB |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| OA |
| OB |
| OC |
| 4t+28 |
| 5 |
| 4-3t |
| 5 |
| OA |
| OB |
| OC |
解答：解：设A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），则
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
∵C（5，0），∴
=(5，0)
∵
•
=3、
•
=4，
∴5cosα=3，5cosβ=4
∴cosα=
，cosβ=
∵A，B是圆x2+y2=1分别在第一、四象限的两个点
∴sinα=
，sinβ=-
∴
=(
，
)，
=(
，-
)
∴
+t
+
=(
，
)
∴
+t
+
的模长=
=
=
≥4
故答案为：4
| OA |
| OB |
∵C（5，0），∴
| OC |
∵
| OA |
| OC |
| OB |
| OC |
∴5cosα=3，5cosβ=4
∴cosα=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵A，B是圆x2+y2=1分别在第一、四象限的两个点
∴sinα=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴
| OA |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| OB |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴
| OA |
| OB |
| OC |
| 4t+28 |
| 5 |
| 4-3t |
| 5 |
∴
| OA |
| OB |
| OC |
(
|
| t2+8t+32 |
| (t+4)2+16 |
故答案为：4
点评：本题考查向量知识的运用，解题的关键是确定向量的坐标，利用配方法求最值．
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