题目内容
已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），| OM |
| OA |
| AB |
（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；
（2）求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；
（3）若t1=a2，求当
| OM |
| AB |
分析：（1）由条件求出点M的坐标，利用点M在第二或第三象限的充要条件为横坐标小于0，纵坐标不等于0，得到结果．
（2）由条件求出
的坐标，证明
等于一个实数与
的乘积，即
∥
，即证明了A、B、M三点共线．
（3）先求出
的坐标，用点到直线的距离公式求出点M到直线AB的距离，由三角形面积等于12解出a的值．
（2）由条件求出
| AM |
| AM |
| AB |
| AM |
| AB |
（3）先求出
| AB |
解答：解：（1）
=t1
+t2
=t1（0，2）+t2（4，4）=（4t2，2t1+4t2）．
当点M在第二或第三象限时，等价于
，故所求的充要条件为t2＜0且t1+2t2≠0．
（2）证明：当t1=1时，由（1）知
=（4t2，4t2+2）．
∵
=
-
=（4，4），
=
-
=（4t2，4t2）=t2（4，4）=t2
，
∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．
（3）当t1=a2时，
=（4t2，4t2+2a2）． 又∵
=（4，4），
⊥
，
∴4t2×4+（4t2+2a2）×4=0，∴t2=-
a2，∴
=（-a2，a2）．又∵|
|=4
，
点M到直线AB：x-y+2=0的距离d=
=
|a2-1|．
∵S△ABM=12，∴
|
|•d=
×4
×
|a2-1|=12，解得a=±2，
故所求a的值为±2．
| OM |
| OA |
| AB |
当点M在第二或第三象限时，等价于
|
（2）证明：当t1=1时，由（1）知
| OM |
∵
| AB |
| OB |
| OA |
| AM |
| OM |
| OA |
| AB |
∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．
（3）当t1=a2时，
| OM |
| AB |
| OM |
| AB |
∴4t2×4+（4t2+2a2）×4=0，∴t2=-
| 1 |
| 4 |
| OM |
| AB |
| 2 |
点M到直线AB：x-y+2=0的距离d=
| |-a2-a2+2| | ||
|
| 2 |
∵S△ABM=12，∴
| 1 |
| 2 |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
故所求a的值为±2．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算法则，证明三点共线的方法，向量的模及点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，准确进行坐标运算，是解题的难点和关键．
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