Question

10．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，一条直线l经过点F₁与椭圆交于A，B两点．
（1）求△ABF₂的周长；
（2）若l的倾斜角为$\frac{π}{4}$，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义可知：△ABF₂的周长=丨AB丨+丨AF₂丨+丨BF₂丨=4a=8，则△ABF₂的周长8；
（2）由（1）可知：直线AB的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得弦长|AB|．

解答 解 （1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
由椭圆的定义，得丨AF₁丨+丨AF₂丨=2a=4，丨BF₁丨+丨BF₂丨=2a=4，
又丨AF₁丨+丨BF₁丨=丨AB丨，
∴△ABF₂的周长=丨AB丨+丨AF₂丨+丨BF₂丨=4a=8．
∴故△ABF₂点周长为8；
（2）由（1）可知，得F₁（-1，0），
∵AB的倾斜角为$\frac{π}{4}$，则AB斜率为1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故直线AB的方程为y=x+1.$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：7y²-6y-9=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{6}{7}$，y₁•y₂=-$\frac{9}{7}$，
则由弦长公式丨AB丨=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（\frac{6}{7}）^{2}-4×（-\frac{9}{7}）}$=$\frac{24}{7}$，
弦长|AB|=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于基础题．