Question

2．已知不等式|2x-1|-|x+1|＜2的解集为{x|a＜x＜b}．
（1）求a，b的值；
（2）已知x＞y＞z，求证：存在实数k，使$-\frac{3a}{{2（{x-y}）}}+\frac{b}{{4（{y-z}）}}≥\frac{k}{x-z}$恒成立，并求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由条件可得存在实数k，使得$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$≥$\frac{k}{x-z}$，利用基本不等式从而证得结论，可得k的最大值为4．

解答 解：（1）由不等式|2x-1|-|x+1|＜2，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-2x-（-x-1）＜2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{1-2x-（x+1）＜2}\end{array}\right.$②，
或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1-（x+1）＜2}\end{array}\right.$ ③．
解①求的x∈∅，解②求得-$\frac{2}{3}$＜x≤$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$＜x＜4，
综上可得，-$\frac{2}{3}$＜x＜4．
再根据不等式的解集为{x|a＜x＜b}，可得a=-$\frac{2}{3}$，b=4．
（2）由题意，$-\frac{3a}{{2（{x-y}）}}+\frac{b}{{4（{y-z}）}}≥\frac{k}{x-z}$恒成立，即存在实数k，使得$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$≥$\frac{k}{x-z}$
∵x＞y＞z，∴x-y＞0，y-z＞0，x-z＞0，
∴[（x-y）+（y-z）]（$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$）=2+$\frac{y-z}{x-y}$+$\frac{x-y}{y-z}$≥4，当且仅当$\frac{y-z}{x-y}$=$\frac{x-y}{y-z}$时取等号，即$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$≥$\frac{4}{x-z}$
故存在实数k≤4，使$-\frac{3a}{{2（{x-y}）}}+\frac{b}{{4（{y-z}）}}≥\frac{k}{x-z}$恒成立，k的最大值为4．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质应用，属于中档题．