Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知M（-1，1），N（0，2），Q（2，0）．
（1）求过M，N，Q三点的圆C₁的标准方程；
（2）圆C₁关于直线MN的对称圆为C₂，求圆C₂的标准方程．

Answer 1

分析 （1）求出线段MN、NQ垂直平分线方程，可得圆心坐标、半径，即可求过M，N，Q三点的圆C₁的标准方程；
（2）圆C₁关于直线MN的对称圆为C₂，求出${C_2}（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$，即可求圆C₂的标准方程．

解答 解：（1）线段MN的中点坐标为$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$，其垂直平分线的斜率为k=-1，
故线段MN垂直平分线方程为$y-\frac{3}{2}=-（x+\frac{1}{2}）$，即x+y-1=0．
同理可得线段NQ的垂直平分线方程为x-y=0，
联立得圆心坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），圆的半径为$r=\sqrt{{{（2-\frac{1}{2}）}^2}+{{（0-\frac{1}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
∴所求圆的标准方程为${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{5}{2}$．
（2）直线MN的方程为x-y+2=0，由（1）知点${C_1}（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，设点C₂（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{{b-\frac{1}{2}}}{{a-\frac{1}{2}}}=-1\\ \frac{{a+\frac{1}{2}}}{2}-\frac{{b+\frac{1}{2}}}{2}+2=0\end{array}\right.$，解得${C_2}（-\frac{3}{2}，\frac{5}{2}）$．∴所求圆的标准方程为${（x+\frac{3}{2}）^2}+{（y-\frac{5}{2}）^2}=\frac{5}{2}$．

点评 本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆心坐标与半径是关键．