Question

已知函数
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数的图像上存在不同两点，设线段的中点为，使得在点处的切线与直线平行或重合，则说函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”。试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由.

Answer 1

（1）函数的递增区间是,递减区间是；（2）当时，函数是“中值平衡函数”且函数的“中值平衡切线”有无数条，当时，函数不是“中值平衡函数”.

试题分析：(1)对进行讨论，求导数，令导数大于0或小于0，求单调递增或递减区间；（2）先假设它是“中值平衡函数”，设出两点，讨论和的情况，看是否符合题意.
试题解析：（1）              1分
当即时，，函数在定义域上是增函数；  2分
当即时,由得到或，  4分
所以：当时，函数的递增区间是和，递减区间是；                            5分
当即时，由得到：，
所以:当时,函数的递增区间是,递减区间是；  7分
（2）若函数是“中值平衡函数”，则存在（）使得
即，
即，（*）                     4分
当时，（*）对任意的都成立，所以函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；                   8分
当时，设，则方程在区间上有解，      10分
记函数，则，       12分
所以当时，，即方程在区间上无解，
即函数不是“中值平衡函数”.                     14分