题目内容

已知函数.
(I)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,函数恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设正实数满足,求证:
时,只有单调递增区间;当时,单调递增区间为,单调递减区间为.;详见解析.

试题分析:先求出的导数,讨论,利用导数的正负与函数单调性得关系求出单调区间;当x>1时,函数f(x)>g(x)恒成立转化为>0恒成立.结合第问讨论的单调区间得出的范围;结合第问,令,所以,再利用柯西不等式,,其中由条件.最后得证.
试题解析:(Ⅰ)易知,定义域是.
                                1分
的判别式
①当时,恒成立,则单调递增    2分
②当时,恒成立,则单调递增      3分
③当时,方程的两正根为
单调递增,单调递减,单调递增
综上,当时,只有单调递增区间
时,单调递增区间为
单调递减区间为   5分
(Ⅱ)即时,恒成立
时,单调递增 ∴当时,满足条件  7分
时,单调递减
单调递减
此时不满足条件
故实数的取值范围为                                         9分
(Ⅲ)由(2)知,恒成立
 则         10分
                   11分

其中
                          13分
                                            14分
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