Question

14．锐角三角形ABC中，已知B=$\frac{π}{4}$，求$\sqrt{2}$cosA+cosC取值范围．

Answer 1

分析 由已知得到C=$\frac{3π}{4}-A$，代入$\sqrt{2}$cosA+cosC，转化为关于A的三角函数，再由三角形为锐角三角形求得A的范围得答案．

解答 解：在锐角三角形ABC中，∵B=$\frac{π}{4}$，
∴A+C=$\frac{3π}{4}$，则C=$\frac{3π}{4}-A$，
∴$\sqrt{2}$cosA+cosC=$\sqrt{2}$cosA+cos（$\frac{3π}{4}-A$）
=$\sqrt{2}cosA$+cos$\frac{3π}{4}cosA$+sin$\frac{3π}{4}sinA$=$\sqrt{2}cosA-\frac{\sqrt{2}}{2}cosA+\frac{\sqrt{2}}{2}sinA$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}sinA+\frac{\sqrt{2}}{2}cosA=sin（A+\frac{π}{4}）$．
由0$＜A＜\frac{π}{2}$，0＜C=$\frac{3π}{4}-A＜\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{4}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}＜A+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，则$sin（A+\frac{π}{4}）$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
即$\sqrt{2}$cosA+cosC取值范围是∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．

点评 本题考查两角和与差的正弦，考查了三角形的解法，由三角形为锐角三角形求得A的范围是关键，是中档题．