Question

18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x²=2py的焦点为M．
（Ⅰ）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）根据焦点坐标求出p，从而得出M点坐标，对直线l有无斜率进行讨论，分两种情况求出l方程；
（II）直线l有无斜率进行讨论，分两种情况得出面积关于l的斜率k的函数，从而得出面积的最小值．

解答 解：（I）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），∴p=2．
∴抛物线E的焦点为M（0，1）．
当直线l无斜率时，直线l的方程为x=0，显然直线l与抛物线C只有一个交点（0，0），符合题意．
当直线l有斜率时，设直线l的方程为：y=kx+1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：k²x²+（2k-4）x+1=0，
∵直线l与抛物线C有且只有一个交点，
∴△=（2k-4）²-4k²=0，解得k=1．
∴直线l的方程为y=x+1．
综上，直线l的方程为x=0或y=x+1．
（II）当直线l无斜率时，直线l的方程为x=1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得A（1，-2），B（1，2）．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×OF×AB$=2．
当直线l有斜率时，设直线l方程为y=k（x-1）．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消元得：y²-$\frac{4}{k}y$-4=0．
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×OF×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}+4}$＞2．
综上，△AOB面积的最小值为2．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．