Question

4．已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A-BCED的体积为16．将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，则BD=2；该旋转体的表面积为$\frac{32+8\sqrt{2}}{3}π$．

Answer 1

分析 由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用几何体A-BCED的体积为16，求BD的值；过B作AD的垂线BH，垂足为H，得BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求出圆锥底面周长为C，结合两个圆锥的母线长，即可求该旋转体的表面积．

解答 解：由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，
体积V=$\frac{1}{3}$•4•$\frac{1}{2}$（a+4）×4=16，
解得a=BD=2；
在RT△ABD中，AB=4$\sqrt{2}$，BD=2，AD=6，
过B作AD的垂线BH，垂足为H，得BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
所以圆锥底面周长为C=2π•$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$，
两个圆锥的母线长分别为4$\sqrt{2}$和2，
故该旋转体的表面积为S=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$（2+4$\sqrt{2}$）=$\frac{32+8\sqrt{2}}{3}π$．
故答案为：2，$\frac{32+8\sqrt{2}}{3}π$

点评 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．