Question

（本题满分14分）

椭圆上任一点到两个焦点的距离的和为6，焦距为，分别是椭圆的左右顶点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；

（Ⅲ）设为椭圆上一动点，为关于轴的对称点，四边形的面积为，设，求函数的最大值. 

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得，，∴，                               -----------------------1分

又，∴，，

故椭圆的方程为；                         ---------------------------------------3分

（Ⅱ）设，，，则，即，

则，，                                  ---------------------------------------4分

即，                 

∴为定值．                          ---------------------------------------8分

（Ⅲ）由题意可知，四边形是梯形，则，且，------------------9分

于是 -------10分

，令，解之得或（舍去） ------------------11分

当，，函数单调递增；         ---------------------------------------12分

当， ，函数单调递减；      ---------------------------------------13分

所以在时取得极大值，也是最大值.     ---------------------------------------14分