Question

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且满足f(x)=-f(x+

3

2

)，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、-1
• D、-2

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据f(x)=-f(x+

3

2

)，可以确定函数f（x）的周期为3，再根据定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，可知f（x）为偶函数，从而利用周期性和奇偶性即可求得f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

解答： 解：∵f(x)=-f(x+

3

2

)，即f（x+

3

2

）=-f（x），
∴f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），
故函数f（x）为周期函数，且周期为3，
∵f（0）=-2，f（-1）=1，
∴f（3）=f（0）=-2，f（2）=f（3-1）=f（-1）=1，
∵定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）为R上的偶函数，则f（-x）=f（x），且f（-1）=1，
故f（1）=f（-1）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）=0，
根据函数f（x）的周期为3，
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=671×[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）+f（2）=671×0+1+1=2，
故选：B．

点评：本题考查了函数的奇偶性和周期性的应用．解题的关键是寻找到函数f（x）的周期为3，利用周期性将所求表达式转化为简单数值的求解．属于中档题．