Question

为了绿化城市，准备在如图所示的区域DFEBC内修建一个矩形PQRC的草坪，并建立如图平面直角坐标系，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m．
（1）求直线EF的方程；
（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求最大面积．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）建立平面直角坐标系，直线EF过点E（30，0），F（0，20），其方程由截距式可得；
（2）点Q在直线EF上，可设点Q(x，20-

2

3

x)，矩形PQRC的面积S=（100-x）•[80-（20-

2

3

x）]，计算S取最大值时对应的x的值，从而得点Q的坐标即可．

解答： 解：（1）如图，在线段EF上任取一点Q，分别向BC，CD作垂线，
由题意，直线EF的方程为：

x

30

+

y

20

=1，即2x+3y-60=0．…（4分）
（2）设Q(x，20-

2

3

x)，则长方体的面积S=(100-x)[80-(20-

2

3

x)](0≤x≤30)，
化简后得S=-

2

3

x2+

20

3

x+6000(0≤x≤30)，配方后易得x=5，y=

50

3

时，S最大，
其最大值为6016

2

3

m2…（12分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查配方法求函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，正确表达出矩形PQCR的面积是解题的关键．