Question

【题目】已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|=2|MB|．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为k的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2k+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y），∵|MA|=2|MB|，

∴ =2 ，

化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4

（2）解：令x=0，解得y=2，∴P（0，2）．

直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）代入圆的方程可得：（1+k2）x2﹣4x=0，

解得x=0，或x= ．

∴Q ．

∴|PQ|= = ．

点C到直线l的距离d= = ．

∴△CPQ面积S= |PQ|d= × × = = ≤ =1，当且仅当|k|=1时取等号．

∴△CPQ面积的最大值1时，此时直线l的方程为：y=±x+2

【解析】（1）设M（x，y），由|MA|=2|MB|，利用两点之间的距离公式即可得出．（2）令x=0，可得P（0，2）．直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）代入圆的方程可得：（1+k2）x2﹣4x=0，解出可得Q坐标，|PQ|．求出点C到直线l的距离d，△CPQ面积S= |PQ|d，再利用基本不等式的性质即可得出．