Question

【题目】已知椭圆的左右焦点为，其离心率为，又抛物线在点处的切线恰好过椭圆的一个焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点斜率为的直线交椭圆于两点，直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ，求出 、 、，即可得结果；（2）当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知，即可求得 的值.

试题解析：(1) 抛物线在点处的切线方程为，它过轴上点， 椭圆的一个焦点为即

又,

椭圆的方程为

(2)设, 的方程为,

联立

,

，

存在常数。

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.