Question

【题目】已知函数f（x）= （a、b、c∈Z）是奇函数．
（1）若f（1）=1，f（2）﹣4＞0，求f（x）；
（2）若b=1，且f（x）＞1对任意的x∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0，

即 =0，∴c=0，

∴f（x）= ，又f（1）= =1，∴b=a﹣2，

f（2）﹣4= ﹣4＞0，

∴ ﹣4= ＞0，

∴2＜a＜ ，∵a∈Z，∴a=3，b=1，

∴f（x）=

（2）解：b=1时，由（1）得：f（x）= ，

f（x）＞1恒成立即 ＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，

即a＞ = + 对任意x∈（1，+∞）恒成立，

令t= ，∴t∈（0，1），

于是 + =2t2+t∈（0，3），

∴a≥3，a的最小值是3

【解析】（1）根据函数是奇函数求出c=0，根据f（1），f（2）的值求出a，b从而求出f（x）即可；（2）问题转化为a＞ = + 对任意x∈（1，+∞）恒成立，令t= ，从而求出a的最小值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．