Question

（2013•湛江一模）设函数f（x）=x（e^x-2）-ax²（x≥0），其中e是自然对数的底，a为实数．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）当a≠1时，f（x）≥-x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）当a≠1时，f（x）≥-x恒成立，等价于x（e^x-1-ax）≥0，构造新函数，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x（e^x-2）-x²（x≥0），
∴f′（x）=（e^x-2）（x+1），
∵x≥0，∴x+1≥1＞0
令f′（x）＞0，可得x∈（ln2，+∞），f′（x）0，可得x∈[0，ln2）
∴函数的单调递减区间是[0，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），
（2）当a≠1时，f（x）≥-x恒成立，等价于x（e^x-1-ax）≥0
设g（x）=e^x-1-ax，则g′（x）=e^x-a
∵x≥0，∴e^x≥1
①a＞1时，由g′（x）＞0解得x＞lna
∴x∈[0，lna）时，g（x）为减函数，当x∈[lna，+∞）时，g（x）为增函数
∵g（0）=0，
∴x∈[0，lna）时，g（x）＜0
∵x＞0，∴xg（x）＜0，即x（e^x-1-ax）＜0
∴f（x）＜-x，∴结论不成立
②当a＜1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0
∴g（x）≥0，∴f（x）≥-x恒成立
综上所述，a的取值范围是（-∞，1）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，确定函数的单调性是关键．