Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，上顶点为为坐标原点，椭圆的离心率且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设线段的中点为，经过的直线与椭圆交于两点， ，若点关于轴的对称点在直线上，求直线方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合椭圆中的几何关系计算可得，则椭圆方程为 .

(2)由题意可知当垂直于轴时，根据椭圆的对称性，满足题意，

当不垂直于轴时，设 交椭圆于，联立直线方程与椭圆方程可得，由题意有，由斜率公式结合韦达定理整理计算可得： ，则直线方程为，

即所在的直线方程为或.

试题解析：

（1）因为，所以，

因为 ，所以，

因为，所以，所以，所以，

所以 .

（2）的中点为，当垂直于轴时，根据椭圆的对称性，显然满足，

即直线的方程为，

当不垂直于轴时，设 交椭圆于，

，

所以，

因为点关于轴对称点在直线上，所以，

，

故，所以，

综上可知， 所在的直线方程为或.