Question

某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况：

月份	1月份	2月份	3月份	4月份
收购价格（元/斤）	6	7	6	5
养殖成本（元/斤）	3	4	4.6	5

现打算从以下两个函数模型：①y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π），
②y=log₂（x+a）+b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系．
（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数解析式；
（2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损？

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型,正弦函数的图象

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）①选择函数模型y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）拟合收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系，由题：A=1，B=6，T=4，求出ω，利用y=sin(

π

2

x+φ)+6图象过点（1，6），求出φ，即可求出函数解析式；②选择函数模型y=log₂（x+a）+b拟合养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系，由题：y=log₂（x+a）+b图象过点（1，3），（2，4），求出a，b，即可求出函数解析式；
（2）x用5，6，7，8，9，10，11，12代入，计算可得结论．

解答： 解：（1）①选择函数模型y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）拟合收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系，…（1分）
由题：A=1，B=6，T=4，∵T=

2π

|ω|

，∴ω=

π

2

，∴y=sin(

π

2

x+φ)+6，…（3分）
由题图象：y=sin(

π

2

x+φ)+6图象过点（1，6），∴

π

2

x+φ=0一解为x=1，∴φ=-

π

2

，
∴y=sin(

π

2

x-

π

2

)+6=6-cos

π

2

x…（5分）
②选择函数模型y=log₂（x+a）+b拟合养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系…（6分）
由题：y=log₂（x+a）+b图象过点（1，3），（2，4），

3=log2(1+a)+b 4=log2(2+a)+b

，…（8分）
解得：

a=0 b=3

，∴y=log₂x+3，…（10分）
（2）由（1）：当x=5时，y=6-cos

π

2

x=6-cos

5π

2

=6，y=log₂x+3=log₂5+3＜log₂8+3=3+3=6
当x=6时，y=6-cos

π

2

x=6-cos3π=6+1=7，y=log₂6+3＜log₂8+3=3+3=6＜7
当x=7时，y=6-cos

π

2

x=6-cos

7π

2

=6，y=log₂x+3=log₂7+3＜log₂8+3=3+3=6
当x=8时，y=6-cos

π

2

x=6-cos4π=6-1=5，y=log₂x+3=log₂8+3=3+3=6＞5
当x=9时，y=6-cos

π

2

x=6-cos

9π

2

=6，y=log₂x+3=log₂9+3＞log₂8+3=3+3=6
当x=10时，y=6-cos

π

2

x=6-cos5π=7，y=log₂x+3=log₂10+3＜log₂16+3=4+3=7
当x=11时，y=6-cos

π

2

x=6-cos

11π

2

=6，y=log₂x+3=log₂11+3＞log₂8+3=3+3=6
当x=12时，y=6-cos

π

2

x=6-cos6π=5，y=log₂x+3=log₂12+3＞log₂8+3=3+3=6＞5
这说明第8、9、11、12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损．…（14分）
答：今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损．…（15分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．