Question

16．关于x的一元二次方程x²-4x+a=0
（1）若此方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）若此方程有两正根，求a的取值范围．
（3）是否存在a的值使得此方程有两负根．
（4）是否存在a的值使得此方程有一正根，一负根．
（5）若此方程有两个实数根，一根比3大，一根比3小，求字母a的取值范围．
（6）若此方程有两个实数根，两根都比1大，求字母a的取值范围．
（7）若此方程有两个实数根，一根比3大，一根比1小，求字母a的取值范围．

Answer 1

分析 令f（x）=x²-4x+a，利用二次函数的性质求得各种条件下实数a的范围．

解答 解：关于x的一元二次方程x²-4x+a=0，令f（x）=x²-4x+a，
（1）若此方程有两个实数根，则△=16-4a＞0，求得a＜4．
（2）若此方程有两正根，则$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4a≥0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=4}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=a＞0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤4．
（3）根据x₁+x₂=4，可得不存在a的值使得此方程有两负根．
（4）令$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4a＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=a＜0}\end{array}\right.$，求得a＜0，可得存在a＜0，使得此方程有一正根，一负根．
（5）令f（3）=9-12+a＜0，求得a＜3，可得当a＜3时，此方程有两个实数根，一根比3大，一根比3小．
（6）若此方程有两个实数根，两根都比1大，则有$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4a≥0}\\{f（1）=1-4+a＞0}\end{array}\right.$，求得3＜a≤4．
（7）若此方程有两个实数根，一根比3大，一根比1小，则由$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-3＜0}\\{f（3）=-3+a＜0}\end{array}\right.$，求得a＜3．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．