Question

若对任意一个三角形，其三边长为a，b，c（a≥b≥c），且a，b，c都在函数f（x）的定义域内，若f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．若h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函数．则M的最大值为（　　）

• A、

  π

  2

• B、

  3π

  4

• C、

  5

  6

  π
• D、π

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：①当M＞

5π

6

时，通过举反例可得此时，h（x）=sinx，x∈（0，M）不是保三角形函数．②当M=

5π

6

时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，

5π

6

），分a+b+c≥2π、a+b+c＜2π两种情况，证明sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长，可得当M=

5π

6

时，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函数，从而得到M的最大值为

5π

6

，从而得出结论．

解答： 解：M的最大值是

5π

6

．
①当M＞

5π

6

时，取a=

5π

6

=b，c=

π

2

，显然这3个数属于区间（0，M），且可以作为某个三角形的三边长，
但这3个数的正弦值

1

2

、

1

2

、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sinx，x∈（0，M）不是保三角形函数．
②当M=

5π

6

时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，

5π

6

），
若a+b+c≥2π，则a≥2π-b-c＞2π-

5π

6

-

5π

6

=

π

3

，即 a＞

π

3

，同理可得b＞

π

3

，c＞

π

3

，∴a、b、c∈（

π

3

，

5π

6

），
∴sina、sinb、sinc∈（

1

2

，1]．
由此可得 sina+sinb＞

1

2

+

1

2

=1≥sinc，即 sina+sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，
故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．
若a+b+c＜2π，则

a+b

2

+

c

2

＜π，
当

a+b

2

≤

π

2

时，由于a+b＞c，∴0＜

c

2

＜

a+b

2

≤

π

2

，∴0＜sin

c

2

＜sin

a+b

2

≤1．
当

a+b

2

＞

π

2

时，由于a+b＞c，∴0＜

c

2

＜

a+b

2

＜

π

2

，∴0＜sin

c

2

＜sin

a+b

2

＜1．
综上可得，0＜sin

c

2

＜sin

a+b

2

≤1．
再由|a-b|＜c＜

5π

6

，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，可得 cos

a-b

2

=cos

|a-b|

2

＞cos

c

2

＞cos

5π

12

＞0，
∴sina+sinb=2sin

a+b

2

cos

a-b

2

＞2sin

c

2

cos

c

2

=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，
故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．
故当M=

5π

6

时，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函数，故M的最大值为

5π

6

，
故选：C．

点评：本题主要考查新定义，正弦函数、余弦函数的图象和性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，注意分类的层次，属于中档题．