Question

某次飞镖比赛中，规定每人最多发射3镖．在M处每射中一镖得3分，在N处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M处的命中率q₁为0.25，在N处的命中率为q₂，该选手选择先在M处发射第一镖，以后都在N处发射．用X表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为：

X	0	2	3	4	5
P	0.03	P1	P2	P3	P4

（Ⅰ）求随机变量X的数学期望E（X）；
（Ⅱ）试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）设该同学在M处命中为事件A，在B处命中为事件B，则事件A，B相互独立，且P（A）=0.25，P（

.

A

）=0.75，P（B）=q₂，P（

.

B

）=1-q₂．由此能求出随机变量X的数学期望EX．
（2）选择上述方式，得分超过3分的概率为：p=p₃+p₄=0.48+0.24=0.72；选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率：p′=0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8=0.896．从而得到选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大．

解答： （1）设该同学在M处命中为事件A，
在B处命中为事件B，则事件A，B相互独立，
且P（A）=0.25，P（

.

A

）=0.75，P（B）=q₂，P（

.

B

）=1-q₂．
根据分布列知：X=0时，
P（

.

A

.

B

.

B

）=0.75（1-q₂）²=0.03，
所以1-q₂=0.2，q₂=0.8，
当X=2时，P₁=P=（

.

A

B

.

B

+A

.

B

B）=0.75q₂（1-q₂）×2=1.5q₂（1-q₂）=0.24，
当X=3时，P₂=P（A

.

B

.

B

）=0.25（1-q₂）²=0.01，
当X=4时，P₃=P（

.

A

BB）=0.75q₂²=0.48，
当X=5时，P₄=P（A

.

B

B+AB）=0.25q₂（1-q₂）+0.25q₂=0.24
随机变量X的数学期望EX=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（2）选择上述方式，得分超过3分的概率为：
p=p₃+p₄=0.48+0.24=0.72；
选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率：
p′=0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8=0.896．
∵p′＞p，
∴选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．