Question

【题目】如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，且．

（1）证明：平面．

（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）45

【解析】

（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明；

（2）取的中点，的中点，连接，将该五面体分成三棱柱和四棱锥的体积和，即可得出该五面体的体积.

（1）证明：取的中点，连接

如图所示，因为，且

又侧面是正方形，且

所以，且；

所以四边形是平行四边形，所以；

因为平面，平面，所以平面；

（2）取的中点，的中点，连接．则几何体为三棱柱；

因为侧面与底面垂直，且，所以底面；

由题意知，

所以三棱柱的体积为；

因为为的中点，

所以

又侧面与底面垂直，所以平面，所以平面；

又，则四棱锥的体积为

即五面体的体积为．