Question

5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}$（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C上的点M（2，$\sqrt{3}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲线C上的两点，求$\frac{1}{ρ_1^2}$+$\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2=acos\frac{π}{3}}\\{\sqrt{3}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a，b，即可得出椭圆的标准方程．
（2）A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲线C上的两点，可得${ρ}_{1}^{2}（\frac{co{s}^{2}θ}{16}+\frac{si{n}^{2}θ}{4}）=1$，${ρ}_{2}^{2}（\frac{si{n}^{2}θ}{16}+\frac{co{s}^{2}θ}{4}）=1$，化简整理即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2=acos\frac{π}{3}}\\{\sqrt{3}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2．
∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲线C上的两点，
可得直角坐标（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），（-ρ₂sinθ，ρ₂cosθ），
代入椭圆标准方程可得：${ρ}_{1}^{2}（\frac{co{s}^{2}θ}{16}+\frac{si{n}^{2}θ}{4}）=1$，${ρ}_{2}^{2}（\frac{si{n}^{2}θ}{16}+\frac{co{s}^{2}θ}{4}）=1$．
∴$\frac{1}{ρ_1^2}$+$\frac{1}{ρ_2^2}$=$\frac{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}{16}$+$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{4}$=$\frac{1}{16}+\frac{1}{4}$=$\frac{5}{16}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．