Question

给出下列五个结论：
①函数f（x）=x-sinx（x∈R）有3个零点；
②函数y=log₂（2x+3）的图象可由函数y=log₂2x的图象向左平移3个单位得到
③若奇函数f（x）对定义域内的任意x都有f（x）=f（2-x），则函数f（x）是周期函数；
④函数y=f（x-2）与函数y=f（2-x）所对应的图象关于直线x=2对称；
⑤对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0（其中f′（x），g′（x）分别是f（x），g（x）的导函数，则函数y=f（x）-g（x）在（-∞，0]上单调递增．
其中正确结论的序号是

 

（填上你认为正确的所有结论的序号）．

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：①在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，利用图象得结论．
②根据图象的平移即可得出，
③利用奇函数定义、及题目给的等式f（x）=f（1-x），判断即可，
④若f（a-x）=f（a+x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称．
⑤根据导数和函数的单调的性质关系以及函数的奇偶性，即可判断．

解答： 解对于①：函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，由图得交点1个，故函数f（x）=sinx-x的零点的个数是1．故①错误，
对于②y=log₂（2x+3）=log₂2（x+

3

2

）=的图象可由函数y=log₂2x的图象向左平移

3

2

个单位得到，故②错误．
对于③f（-x）=f[2-（-x）]=f（2+x），又通过奇函数得f（-x）=-f（x），∴f（2+x）=-f（x），∴f（4+x）=f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，
对于④若f（a-x）=f（a+x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称．故④正确
对于⑤根据题意，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数；又由奇函数在定义域内单调性相同，偶函数单调性相反，所以x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，所以f′（x）-g′（x）＞0恒成立，所以函数y=f（x）-g（x）在（-∞，0]上单调递增，故⑤正确；
故答案为：③④⑤

点评：本题综合考查了函数的图象与性质，属于中档题．