Question

【题目】已知函数，函数，函数

（1）当函数在时为减函数，求a的范围；

（2）若a=e(e为自然对数的底数）；

①求函数g(x)的单调区间；

②证明：

Answer 1

【答案】（1）.（2）①单调増区间为单调减区间为；②证明见解析.

【解析】

试题（1）题意转化为在上恒成立；（2），①，则，现在要讨论（或）的解，关键是函数，同样我们用导数来研究，，当时，为减函数，当时，为增函数，所以对任意，，从而知当时，当，；②这一题比较特殊，要证不等式，即证，即证，考虑到在①中已证明的最小值为1，那么下面我们如果能求出的最大值不大于1（最多等于1），命题即证.这同样利用导数知识可证明.

试题解析：（1）因为函数在时为减函数，所以.

.

因为,所以,即.

①当a=e时，

所以=

记，则，当

当所以>0.

所以在,在；

即g(x)的单调増区间为单调减区间为

②证明：由①得欲证，

只需证

即证.

记，则

当，，

当，．即

由①得.所以.