题目内容

函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．

答案：
解析：

　　证明：设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)．

　　∴f(0)＝0．

　　又设a＝－x，b＝x，

　　则f(0)＝f(－x)＋f(x)．

　　∴f(－x)＝－f(x)．

　　∴f(x)是奇函数．

　　思路分析：要证f(x)是奇函数，只需证f(－x)＝－f(x)．

　　令a＝－x，b＝x，得f(0)＝f(－x)＋f(x)，再求f(0)．


提示：

判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证f(0)＝0是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)＝0．这是因为，对于偶函数f(x)，f(0)可以取任意值．


练习册系列答案
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设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
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(1+x2)；②f（x）在R上的最小值为0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数h使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），则称f（x）为M上的“h阶高调函数”．给出如下结论：
①若函数f（x）在R上单调递增，则存在非零实数h使f（x）为R上的“h阶高调函数”；
②若函数f（x）为R上的“h阶高调函数”，则f（x）在R上单调递增；
③若函数f（x）=x2为区间[-1，+∞）上的“h阶高诬蔑财函数”，则h≥2；
④若函数f（x）在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=|x-1|-1，则f（x）只能是R上的“4阶高调函数”．
其中正确结论的序号为（　　）

已知函数f(x)=2sin(ωx+),x∈R,其中ω>0,-π<≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则(　　)

(A)f(x)在区间[-2π,0]上是增函数

(B)f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数

(C)f(x)在区间[3π,5π]上是减函数

(D)f(x)在区间[4π,6π]上是减函数

 
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且x≤f(x)≤
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(1+x2)；②f（x）在R上的最小值为0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k2x在[-1，1]上是单调函数，求k的取值范围；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
(理)已知函数f(x)=xlnx.

(1)求函数f(x)的单调区间和最小值;

(2)当b＞0时，求证:bb≥(其中e=2.718 28…是自然对数的底数);

(3)若a＞0,b＞0，证明f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).

(文)已知向量m=(x2,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且m∥n,把其中x,y所满足的关系式记为y=f(x).若f′(x)为f(x)的导函数,F(x)=f(x)+af′(x)(a＞0),且F(x)是R上的奇函数.

(1)求和c的值.

(2)求函数f(x)的单调递减区间(用字母a表示).

(3)当a=2时,设0＜t＜4且t≠2,曲线y=f(x)在点A(t,f(t))处的切线与曲线y=f(x)相交于点B(m,f(m))(A与B不重合),直线x=t与y=f(m)相交于点C,△ABC的面积为S,试用t表示△ABC的面积S(t),并求S(t)的最大值.

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