题目内容

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足条件:①当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且x≤f(x)≤
1
2
(1+x2)
;②f(x)在R上的最小值为0.
(1)求f(1)的值及f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)-k2x在[-1,1]上是单调函数,求k的取值范围;
(3)求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
(1)∵x≤f(x)≤
1
2
(1+x2)
在R上恒成立,
1≤f(1)≤
1
2
(1+12)=1
,即f(1)=1
∵f(x-4)=f(2-x),∴函数图象关于直线x=-1对称,
-
b
2a
=-1,b=2a

∵f(1)=1,∴a+b+c=1
又∵f(x)在R上的最小值为0,
∴f(-1)=0,即a-b+c=0,
b=2a
a+b+c=1
a-b+c=0
,解得
a=c=
1
4
b=
1
2

f(x)=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4

(2)由(1)得,g(x)=f(x)-k2x=
1
4
[x2-2(2k2-1)x+1]

∴g(x)对称轴方程为x=2k2-1,
∵g(x)在[-1,1]上是单调函数,
∴2k2-1≤-1或2k2-1≥1,
解得k≥1或k≤-1或k=0,
∴k的取值范围是k≥1或k≤-1或k=0.
(3)假设存在存在t∈R满足条件,
由(1)知f(x)=
1
4
x2+
1
2
x+
1
4
=
1
4
(x+1)2

∴f(x+t)≤x?(x+t+1)2≤4x且x∈[1,m],
?
t≥-x-2
x
-1
t≤-x+2
x
-1
在[1,m]上恒成立?
t≥(-x-2
x
-1)
max
t≤(-x+2
x
-1)
min

y =-x-2
x
-1
在[1,m]上递减,
(-x-2
x
-1)max=-4

y =-x+2
x
-1
在[1,m]上递减,
(-x+2
x
-1)min=-m+2
m
-1=-(
m
-1)2

-4≤t≤-(
m
-1)2
,∴-(
m
-1)2≥-4
(
m
-1)2≤4

∵m>1,∴
m
-1≤2

∴m≤9,∴m的最大值为9.
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