Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数h使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），则称f（x）为M上的“h阶高调函数”．给出如下结论：
①若函数f（x）在R上单调递增，则存在非零实数h使f（x）为R上的“h阶高调函数”；
②若函数f（x）为R上的“h阶高调函数”，则f（x）在R上单调递增；
③若函数f（x）=x²为区间[-1，+∞）上的“h阶高诬蔑财函数”，则h≥2；
④若函数f（x）在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=|x-1|-1，则f（x）只能是R上的“4阶高调函数”．
其中正确结论的序号为（　　）

A、①③

B、①④

C、②③

D、②④

Answer 1

分析：因为是判断命题的真假，所以只要能从正面推出其成立，即可说其为真命题；只要能举出反例，即可说明其为假命题，用这中方法对四个命题一一验证即可求出结果．

解答：解：对于①，因为函数f（x）在R上单调递增，即自变量越大函数值越大，故满足新定义．即存在非零实数h使f（x）为R上的“h阶高调函数”；①为真命题；
对于②，举反例如图，函数f（x）的定义域为[-1，3]，M=[-1，1]，满足新定义．即存在非零实数2使f（x）为R上的“h阶高调函数”，f（x）在R上不单调递增；②为假命题；
对于③，因为对于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），即f（x+h）≥f（1）⇒x+h≥1⇒h≥1-x⇒h≥2，③为真命题；
对于④，其图象如图，由图得，不存在实数h让其满足定义，即④为假命题．
故真命题只有  ①③．
故选   A．

点评：本题的关键在于对定义的理解，只要定义理解透彻，问题就解决了，这也是这一类型题目解决的关键．