Question

18．已知函数f（x）=a•（$\frac{1}{3}$）^x+bx²+cx（a∈R，b≠0，c∈R），若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则实数c的取值范围为[0，4）．

Answer 1

分析 设x₁∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，从而可推出f（0）=0，从而化简f（x）=bx²+cx；从而可得（bx²+cx）（b²x²+bcx+c）=0与bx²+cx=0的根相同，从而解得．

解答 解：设x₁∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
则f（x₁）=0，且f（f（x₁））=0，
故f（0）=0，
故a=0；
故f（x）=bx²+cx；
由f（x）=0得，x=0或x=-$\frac{c}{b}$；
f（f（x））=b（bx²+cx）²+c（bx²+cx）=0，
故（bx²+cx）（b²x²+bcx+c）=0，
当c=0时，显然成立；
当c≠0时，方程b²x²+bcx+c=0无根，
故△=（bc）²-4b²c＜0，
解得，0＜c＜4．
综上所述，
0≤c＜4，
故答案为：[0，4）．

点评 本题考查了集合的相等与函数的关系应用，属于中档题．