Question

13．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 acosC+$\frac{1}{2}$c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求周长P的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理与和差公式即可得出．
（2）解法一：由余弦定理得$1={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}={（b+c）^2}-3bc$，再利用基本不等式的性质可得：b+c≤2，又 b+c＞2-1=1，即可得出．
解法二：由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{{sin（\frac{2π}{3}-B）}}=\frac{1}{{sin\frac{π}{3}}}$，可得周长$P=b+c+1=\frac{2}{{\sqrt{3}}}[sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）]+1=1+（\sqrt{3}sinB+cosB）=1+2sin（B+\frac{π}{6}）$，利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）由$acosC+\frac{1}{2}c=b$及正弦定理知：$sinAcosC+\frac{1}{2}sinC=sinB$，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴$sinAcosC+\frac{1}{2}sinC$=sinAcosC+cosAsinC，
即$\frac{1}{2}sinC=cosAsinC$，∴$cosA=\frac{1}{2}$，∵A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）解法一：由余弦定理得$1={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}={（b+c）^2}-3bc$$≥\frac{1}{4}{（b+c）^2}$，
∴b+c≤2，
又   b+c＞2-1=1，∴1＜b+c≤2，即周长P=b+c+1∈（2，3]．
解法二：由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{{sin（\frac{2π}{3}-B）}}=\frac{1}{{sin\frac{π}{3}}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinB\\ c=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{2π}{3}-B）\end{array}\right.$，
∴周长$P=b+c+1=\frac{2}{{\sqrt{3}}}[sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）]+1=1+（\sqrt{3}sinB+cosB）=1+2sin（B+\frac{π}{6}）$，
∵$B∈（0，\frac{2π}{3}）$，∴$B+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）∴sin（B+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]$，
从而周长P=b+c+1∈（2，3]．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．