Question

10．已知函数f（x）=x³-9x，g（x）=3x²+a．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点处具有公共切线，求a的值；
（Ⅱ）若存在实数b使不等式f（x）＜g（x）的解集为（-∞，b），求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解x₁，x₂，x₃，且它们可以构成等差数列，写出实数a的值．（只需写出结果）

Answer 1

分析 （Ⅰ）设f（x）与g（x）的交点坐标为（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{0}^{2}-9=6{x}_{0}}\\{{x}_{0}^{3}-9{x}_{0}=3{x}_{0}^{2}+a}\end{array}\right.$，即可解得a的值．
（Ⅱ）令h（x）=x³-3x²-9x，则y=h（x）的图象在直线y=a下方的部分对应点的横坐标x∈（-∞，b），由h′（x）=3x²-6x-9=0，解得x的值．判断函数的单调性，利用最值求解即可．
（Ⅲ）利用（Ⅱ），通过二次求导，导数为0，求出对称点的坐标，结合等差数列求解a即可．

解答 （本题满分为14分）
解：（Ⅰ）设f（x）与g（x）的交点坐标为（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{0}^{2}-9=6{x}_{0}}\\{{x}_{0}^{3}-9{x}_{0}=3{x}_{0}^{2}+a}\end{array}\right.$，
解得x₀=-1或x₀=3，
解得a的值为：5或-27．
（Ⅱ）令h（x）=x³-3x²-9x，则y=h（x）的图象在直线y=a下方的部分对应点的横坐标x∈（-∞，b），
由h′（x）=3x²-6x-9=0，解得x的值．
h′（x），h（x）的情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
h（x）	+	0	-	0	+
h′（x）	增	极大值	减	极小值	增

因为h（a²+5）=（a²+5）（a⁴+7a²+1）＞a²+5≥2$\sqrt{5}$|a|≤a，即h（a²+5）＞a；
h（-a²-2）=-（a²+2）（a⁴+7a²+1）＜-（a²+2）≤-2$\sqrt{2}$|a|≤a，即h（-a²-2）＜a，
（或者：因为当x→+∞时，h（x）→+∞，当x→-∞时，h（x）→-∞），
又因为：h（x）_max=h（-1）=5，h（x）_min=h（3）=-27．
所以当a＞5或a≤-27满足条件．
（Ⅲ）由（Ⅱ）h（x）=x³-3x²-9x，h′（x）=3x²-6x-9，
则h′′（x）=6x-6，令6x-6=0，可知x=1，此时y=-11，
函数h（x）的对称中心为：（1，-11），
方程f（x）=g（x）有三个不同的解x₁，x₂，x₃，
且它们可以构成等差数列，实数a的值：-11．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查方程的解的情况，注意运用转化思想，考查运算化简能力，属于难题．