Question

【题目】已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的( )

A.内心、重心、垂心、外心B.外心、垂心、重心、内心

C.外心、内心、重心、垂心D.内心、垂心、外心、重心

Answer 1

【答案】B

【解析】

对①，易得点O到点的距离相等即可判断.

对②，根据向量的数量积运算可求得， ，即可判断.

对③，根据重心的性质与数量积的运算判断即可.

对④，根据平面向量的线性运算可得，进而可知在三个角的角平分线上即可证明.

对于①，因为①，

所以点O到点的距离相等，

即点O为的外心;

对于②，因为，

所以，

所以，

即，同理，

即点O为的垂心;

对于③，因为，

所以，

设D为的中点，则，

即点O为的重心;

对于④，因为，

故，整理得.

又，

所以.因为分别为，方向的单位向量，故与的角平分线共线.同理与的角平分线共线，与的角平分线共线.故点O为的内心.

故选：B