Question

【题目】已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中：

(I)证明：平面 平面;

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

(Ⅲ)若点在棱上，满足， ，点在棱上，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ） .

【解析】试题分析：第一问取中点，根据等腰三角形的性质求得，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值与的关系式，利用函数的有关知识求得结果.

（Ⅰ）方法1：

设的中点为，连接， . 由题意

， ，

因为在中， ， 为的中点

所以，

因为在中， ， ，

所以

因为， 平面

所以平面

因为平面

所以平面 平面

方法2：

设的中点为，连接， .

因为在中， ， 为的中点

所以，

因为， ，

所以≌≌

所以

所以

因为， 平面

所以平面

因为平面

所以平面 平面

方法3：

设的中点为，连接，因为在中， ，

所以

设的中点，连接， 及.

因为在中， ， 为的中点

所以.

因为在中， ， 为的中点

所以.

因为， 平面

所以平面

因为平面

所以

因为， 平面

所以平面

因为平面

所以平面 平面

（Ⅱ）由平面， ，如图建立空间直角坐标系，则

， ， ， ，

由平面，故平面的法向量为

由，

设平面的法向量为，则

由得：

令，得， ，即

由二面角是锐二面角，

所以二面角的余弦值为

（Ⅲ）设， ，则

令

得

即，μ是关于λ的单调递增函数，

当时， ，

所以