题目内容

如图在边长为a的正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD中点，设
AE
=
α
，
AF
=
β
．
（1）试用
α
、
β
表示向量
AB
、
AD
；
（2）求向量
α
、
β
夹角的大小．
考点：平面向量数量积的运算,向量加减混合运算及其几何意义
专题：平面向量及应用
分析：（1）由E、F分别为边BC、CD中点，
AE
=
α
，
AF
=
β
．利用向量的三角形法则和向量相等可得
AB
+
1
2
AD
=
α
，
AD
+
1
2
AB
=
β
．联立解得即可．
（2）已知|
AB
|=|
AD
|=a，
AB
•
AD
=0．由（1）利用向量的数量积性质和模的计算公式可得
α
•
β
=a2．|
α
|=
AB
2+
1
4
AD
2+
AB
•
AD
=
5
2
a，同理可得|
β
|=
5
2
a2．再利用向量的夹角公式即可得出．
解答： 解：（1）∵E、F分别为边BC、CD中点，
AE
=
α
，
AF
=
β
．
∴
AE
=
AB
+
BE
=
AB
+
1
2
BC
=
AB
+
1
2
AD
=
α
，
AF
=
AD
+
DF
=
AD
+
1
2
DC
=
AD
+
1
2
AB
=
β
．
解得
AB
=
4
3
α
-
2
3
β
，
AD
=
4
3
β
-
2
3
α
．
（2）|
AB
|=|
AD
|=a，
AB
•
AD
=0．
∴
α
•
β
=(
AB
+
1
2
AD
)•(
1
2
AB
+
AD
)=
1
2
AB
2+
1
2
AD
2+0=a2．
|
α
|=
AB
2+
1
4
AD
2+
AB
•
AD
=
a2+
1
4
a2
=
5
2
a，同理可得|
β
|=
5
2
a2．
∴cos＜
α
，
β
＞=
α
•
β
|
α
| |
β
|
=
a2
5
4
a2
=
4
5
．
∴向量
α
、
β
夹角为arccos
4
5
．
点评：本题考查了向量的三角形法则、数量积的运算性质、向量的夹角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，E是PB的中点，AB=2AD=2CD=2，PC=
2
．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥C-ABE高的大小．
已知函数f（x）=sin（ωx+
π
6
）+sin（ωx-
π
6
）-2cos2
ωx
2
，x∈R（其中ω＞0）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为
π
2
，求函数y=f（x）的对称轴．
在如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=3，四边形ABCD为边长是2的正方形，E是PB的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）求证：PD∥平面EAC．
若A、B是椭圆
x2
4
+y2=1上两点，O为坐标原点，OH⊥AB于点H，又OA与OB斜率分别为k1，k2，且满足k1•k2=-
3
4

（1）求点H的轨迹方程
（2）求△OAB面积的最大值．
已知函数f（x）=ln（1+x）-
ax
x+1
（a＞0）．
（1）实数a为何值时，使得f（x）在（0，+∞）内单调递增；
（2）试比较（
2013
2014
）2014与
1
e
的大小．
已知点A（1，-1），B（5，1），直线l经过点A，且与直线3x+4y-10=0平行，
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）求以B为圆心，并且与直线l相切的圆的标准方程．
已知复数|z|=2，求复数
3
+i+z的模的最大值、最小值．
对于在R上的函数y=f（x）满足：（1）对任意x∈R，都有f（x3）=f3（x）；（2）对任意x1，x2∈R，
x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），则f（0）+f（1）+f（-1）=
 
．

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