Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0\;，b＞0）$的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在一点P使asin∠PF₂F₁=csin∠PF₁F₂，则该双曲线的离心率的取值范围是$（1\;，\;1+\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 利用正弦定理及双曲线的定义，可得a，c的不等式，即可求出双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：不妨设P在双曲线右支上运动，
由正弦定理可得c•PF₂=a•PF₁，且PF₁-PF₂=2a，
联立可得PF₂=$\frac{2{a}^{2}}{c-a}$＞0，即得c-a＞0，即e＞1，…①
又PF₂＞c-a，
∴PF₂=$\frac{2{a}^{2}}{c-a}$≥c-a，化简可得c²-2ac-a²≤0，即e²-2e-10，得1-$\sqrt{2}$＜e≤1+$\sqrt{2}$…②
由①②可得e∈$（1\;，\;1+\sqrt{2}]$．
故答案为：$（1\;，\;1+\sqrt{2}]$．

点评 本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，属于中档题．