Question

已知函数f（x）=x²-2mx+1．
（1）m=2时，求f（x）在?x∈[0，1]上的最大值；
（2）若x²-2mx+1＞0对?x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过m=2，化简平方f（x）的表达式，利用函数的单调性求解在?x∈[0，1]上的最大值；
（2）x²-2mx+1＞0对?x∈[0，1]恒成立，转化为，m在一侧的不等式，通过基本不等式求出另一侧的最值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）m=2时，f（x）=（x-2）²-3，在?x[0，1]上单调递减，
f_max（x）=f（0）=1；
（2）原不等式等价于2mx＜x²+1，当x=0时，不等式显然成立，
当0＜x≤1时，原不等式等价于m＜

x2+1

2x

，

x2+1

2x

=

1

2

(x+

1

x

)≥

1

2

×2

x• 1 x

=1，
当且仅当x=1时取等号，∴当x=1时，

x2+1

2x

取最小值1，∴m＜1
综上，所求m的取值范围为（-∞，1）．

点评：本题考查函数的恒成立问题的应用，二次函数的单调性，基本不等式的应用，考查计算能力以及转化思想．