Question

10．已知圆心在y轴上的⊙C经过点A（-2，0），且⊙C与直线x+$\sqrt{3}$y=4相切，切点在第一象限．设O为坐标原点，⊙C与x轴正半轴交于B点．
（1）求⊙C的方程；
（2）若⊙C内的动点P到点A，O，B的距离成等比数列，求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用条件，求出圆心坐标，即可求⊙C的方程；
（2）设P（x，y），A（-2，0），B（2，0），利用向量的数量积公式，结合⊙C内的动点P到点A，O，B的距离成等比数列，即可求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范围．

解答 解：（1）设圆心为（0，b），则$\sqrt{4+{b}^{2}}$=$\frac{|\sqrt{3}b-4|}{\sqrt{1+3}}$，
∴b=0或8$\sqrt{3}$，
∵切点在第一象限，
∴b=0，
∴⊙C的方程x²+y²=4；
（2）设P（x，y），A（-2，0），B（2，0）
则$\overrightarrow{AP}$=（x+2，y），$\overrightarrow{BP}$=（x-2，y），$\overrightarrow{OP}$=（x，y）
设z=$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=x²-4+y²．（1）
又∵|PA|•|PB|=PO²，
∴[（2+x）²+y²]•[（x-2）²+y²]=（x²+y²）²，
整理得：x²-y²=2（2），
这是P点满足的条件 （其图形为一双曲线），
求它与圆的交点：即，解方程组得x²=3，
（但P（x，y）在圆内，故对P，只能x²＜3，
又由（2）知x²≥2，即2≤x²＜3（3），
由（2）还得：y²=x²-2，
代入（1），得z=2x²-6（4）．
由（3），（4）知，z的取值范围为：[-2，0），
故$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范围是：[-2，0）．

点评 本题考查考查了等比数列和平面向量的性质，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．