题目内容
已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6，0），求此抛物线的方程.
思路分析：利用线段垂直平分线的性质及抛物线方程的形式，用代入法求得p值，从而得出抛物线方程.?
解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0）,其准线为x=-
,设A（x1,y1），B（x2,y2）.?
∵|AF|+|BF|=8.?
∴x1+
+x2+
=8.?
即x1+x2=8-p. ①
又∵Q（6，0）在线段AB的中垂线上.
∴QA=QB.?
即（x1-6）2+y12=（x2-6）2+y22，?
又y12=2px1,y22=2px2，?
∴（x1-x2）（x1+x2-12+2p）=0.?
∵AB不与x轴垂直,?
∴x1≠x2.?
∴x1+x2-12+2p=0. ②?
把①代入②得8-p-12+2p=0,?
∴p=4.?
抛物线方程为y2=8x.
温馨提示
本例运用抛物线的焦半径公式，y2=2px（p＞0）的焦半径：x+
,使解析过程简单.
练习册系列答案
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