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精英家教网已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1).
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)在抛物线C上是否存在点P,使得过点P的直线交C于另一点Q,满足PF⊥QF,且PQ与C在点P处的切线垂直?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)设抛物线C的方程是x2=ay,根据焦点为F的坐标求得a,进而可得抛物线的方程.
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),进而可得抛物线C在点P处的切线方程和直线PQ的方程,代入抛物线方程根据韦达定理,可求得x1+x2和x1x2的表达式,根据
FP
×
FQ
求得y1=4及点P的坐标.
解答:解:(Ⅰ)设抛物线C的方程是x2=ay,
a
4
=1

即a=4.
故所求抛物线C的方程为x2=4y.
(Ⅱ)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则抛物线C在点P处的切线方程是y=
x1
2
x-y1

直线PQ的方程是y=-
2
x1
x+2+y1

将上式代入抛物线C的方程,得x2+
8
x1
x-4(2+y1)=0

故x1+x2=-
8
x1
,x1x2=-8-4y1
所以x2=-
8
x1
-x1,y2=
4
y1
+y1+4.
FP
=(x1,y1-1),
FQ
=(x2,y2-1),
FP
×
FQ
=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1
=-4(2+y1)+y1
4
y1
+y1+4)-(
4
y1
+2y1+4)+1
=y12-2y1-
4
y1
-7
=(y12+2y1+1)-4(
1
y1
+y1+2)
=(y1+1)2-
4(y1+1)2
y1

=
(y1-4)(y1+1)2
y1
=0,
故y1=4,此时,点P的坐标是(±4,4).
经检验,符合题意.
所以,满足条件的点P存在,其坐标为P(±4,4).
点评:本题主要考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线的关系.
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