题目内容

已知抛物线C的顶点在坐标原点,以坐标轴为对称轴,且焦点F(2,0).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)直线l过焦点F与抛物线C相交与M,N两点,且|MN|=16,求直线l的倾斜角.
分析:(1)由题意可设抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0),由焦点F(2,0),可得
p
2
=2
,解得p即可.
(2)设直线l的方程为my=x-2,与抛物线的方程联立可得根与系数的关系,再利用弦长公式即可得出m,进而得到直线l的斜率k=±
1
m
,即可得出倾斜角.
解答:解:(1)由题意可设抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0),∵焦点F(2,0),∴
p
2
=2
,解得p=4.
∴抛物线C的标准方程y2=8x.
(2)设直线l的方程为my=x-2,联立
my=x-2
y2=8x
,化为y2-8my-16=0,
∴y1+y2=8m,y1y2=-16.
∵|MN|=16,∴
(1+m2)[(8m)2-4×(-16)]
=16,化为m2=1.
解得m=±1.
∴直线l的斜率k=±1.
设直线l的倾斜角为α,则tanα=±1,解得α=45°或135°.
点评:本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、倾斜角与斜率的关系等基础知识与基本技能方法,属于中档题.
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