Question

2．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a+c=6$\sqrt{3}$，b=6
（1）求cosB的最小值    
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=12，求A的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理，基本不等式即可计算得解．
（2）由（1）及平面向量数量积的运算可求ac=24，cosB的值，进而可求a，利用正弦定理即可解得A的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵a+c=6$\sqrt{3}$，b=6，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（6\sqrt{3}）^{2}-2ac-36}{2ac}$
=$\frac{36}{ac}$-1≥$\frac{36}{（\frac{a+c}{2}）^{2}}$-1=$\frac{1}{3}$，当且仅当a=c=3$\sqrt{3}$时取最小值$\frac{1}{3}$…（4分）
（2）∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=12，
∴accosB=12，由（1）可得：cosB=$\frac{36}{ac}$-1，
∴ac=24，cosB=$\frac{1}{2}$，
∴由a+c=6$\sqrt{3}$，及ac=24，解得：a=4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$，…（10分）
∴当a=4$\sqrt{3}$时，由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinB}{b}$=1，可得A=$\frac{π}{2}$；
当a=2$\sqrt{3}$时，由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{6}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，平面向量数量积的运算，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．