题目内容
15．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程；
（2）设点M的极坐标为（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$），过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若|MA|=2|MB|，求AB的弦长．
分析 （1）由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．
（2）先求出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，得t2+2（cosθ-sinθ）t-2=0，由此能求出AB的弦长．
解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρsinθ=0，
即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．…5分
（2）设直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t•cosθ\\ y=1+t•sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）①
曲线C的直角坐标方程是x2+y2-4y=0，②
①②联立，得t2+2（cosθ-sinθ）t-2=0，
∴t1t2=-2，且|MA|=2|NB|，∴t1=-2t2，
则t1=2，t2=-1或t1=-2，t2=1，
∴|AB的弦长AB|=|t1-t2|=3．…10分
点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程与直角坐标方程的互化公式的合理运用．
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